Monacaでファイル操作を行う場合は、Fileプラグインを利用します。
Fileプラグインは、Monacaの基本Cordovaプラグインに含まれており、Basicプランから利用することができます。

Fileプラグインの使い方

まず初めに、対象のプロジェクトの「Cordovaプラグインの管理」から、Fileプラグインを有効にします。
プロジェクトでFileプラグインが利用できるのは、devicereadyイベント発行後になります。

<script>
document.addEventListener("deviceready", onDeviceReady, false);
function onDeviceReady() {
    alert("Fileプラグインが利用できます。");
}
</script>

requestFileSystemとresolveLocalFileSystemURI

requestFileSystemで取得できるファイルシステムでは、下記を取得することができます。

ファイルの一覧を取得する

LocalFileSystem.PERSISTENTにあるファイルの一覧は、下記で取得することができます。
コードは、下記になります。

<script>
    document.addEventListener("deviceready", onDeviceReady, false);
    function onDeviceReady() {
        window.requestFileSystem(LocalFileSystem.PERSISTENT, 0, onFileSystemSuccess, onFileSystemFail);
        //window.requestFileSystem(LocalFileSystem.TEMPORARY, 0, onFileSystemSuccess, onFileSystemFail);
    }
    function onFileSystemSuccess(fileSystem) {
        var directoryEntry = fileSystem.root;
        var directoryReader = directoryEntry.createReader();
        directoryReader.readEntries(getFileName, fail);
    }
    function onFileSystemFail(error) {
        console.log("error: " + error.code);
    }

    function getFileName(fileEntries) {
        for (var index = 0; index < fileEntries.length; index++) {
            console.log(fileEntries[index].name)
        }
    }
    function fail(error) {
        console.log("error: " + error.code);
    }
</script>

ファイルを移動する

resolveLocalFileSystemURLで取得できるFileEntryには、ファイル操作をするための様々なメソッドが用意されています。その中のmoveTo()を使って、LocalFileSystem.TEMPORARYにあるファイルをLocalFileSystem.PERSISTENTへ移動してみます。
コードは、下記になります。

<script>
    var persistentDirectoryEntry;
    var temporaryDirectoryEntry;

    // サンプルパス
    var targetFilePath = "cdvfile://localhost/temporary/sample.jpg";

    document.addEventListener("deviceready", onDeviceReady, false);
    function onDeviceReady() {
        window.requestFileSystem(LocalFileSystem.PERSISTENT, 0, onPersistentFileSystemSuccess, onPersistentFileSystemFail);
        window.requestFileSystem(LocalFileSystem.TEMPORARY, 0, onTemporaryFileSystemSuccess, onTemporaryFileSystemFail);
    }

    // LocalFileSystem.PERSISTENTコールバック
    function onPersistentFileSystemSuccess(fileSystem) {
        persistentDirectoryEntry = fileSystem.root;
    }
    function onPersistentFileSystemFail(error) {
        console.log('onPersistentFileSystemFail: ' + error.code);
    }

    // LocalFileSystem.TEMPORARYコールバック
    function onTemporaryFileSystemSuccess(fileSystem) {
        temporaryDirectoryEntry = fileSystem.root;

        // 対象のファイルを取得
        window.resolveLocalFileSystemURL(targetFilePath, onResolveSuccess, onResolveFail);
    }
    function onTemporaryFileSystemFail(error) {
        console.log("onTemporaryFileSystemFail: " + error.code);
    }

    // resolveLocalFileSystemURLコールバック
    function onResolveSuccess(fileEntry) {
        // PERSISTENTへ移動。
        fileEntry.moveTo(persistentDirectoryEntry, fileEntry.name, moveToSuccess, moveToFail);
        function moveToSuccess(fileEntry) {
            console.log("「" + fileEntry.name + "」を移動しました。");
        }
        function moveToFail(error) {
            console.log("moveToFail: " + error.code);
        }
    }
    function onResolveFail(error) {
        console.log("onResolveFail: " + error.code);
    }
</script>

FileEntryやDirectoryEntryには、moveTo()以外にも、コピーをするためのcopyTo()や、削除をするためのremove()なども用意されています。これらを組み合わせることにより、さまざまな処理を行うことができます。